Giải chi tiết đề thi THPT Quốc Gia 2018, mã đề 101 môn Toán

Câu 36
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=x^8+(m-2)x^5-(m^2-4)x^4+1$ đạt cực tiểu tại $x=0$ ?
A. $3$ .
B. $5$ .
C. $4$ .
D. Vô số.

Lời giải

Chọn phương án C.

Ta có $y'=8x^7+5(m-2)x^4-4(m^2-4)x^3=x^3\left( 8x^4+5(m-2)x-4(m^2-4) \right)$ .

Đặt $f(x)=8x^4+5(m-2)x-4(m^2-4)$ , ta xét hai trường hợp:

• TH1: $f(0)=0\Leftrightarrow m^2-4=0\Leftrightarrow m=\pm 2$ .

Với $m=2\Rightarrow y'=8x^7\Rightarrow x=0$ là điểm cực tiểu.

Với $m=-2\Rightarrow y'=x^4\left( 8x^4-20\right) \Rightarrow x=0$ không phải là điểm cực tiểu.

• TH2: $f(0)\neq 0\Leftrightarrow m^2-4\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 2$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $y'=x^3.f(x)$ đổi dấu từ $-$ qua $+$ khi qua $x=0$ .

Điều này tương đương với $\lim\limits_{x\to 0}f(x)>0\Leftrightarrow m^2-4<0\Leftrightarrow -2<m<2$ .

Kết hợp ta có bốn giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 37
Cho hình lập phương $ABCD. A'B'C'D'$ có tâm $O$ . Gọi $I$ là tâm hình vuông $A'B'C'D'$ và $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OI$ sao cho $MO=2MI$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(MC'D')$ và $(MAB)$ bằng

Hinh37a

A. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}$ .
B. $\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$ .
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}$ .
D. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}$ .

Lời giải
Chọn phương án B.

Hinh37b

Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $D'C'$ và $AB$ .

Ta có $\begin{cases} MP\perp C'D' \parallel AB\\ MQ\perp AB \end{cases}\Rightarrow AB\perp (MPQ)$ .

Suy ra $(MAB)\perp (MPQ)$ và $(MC'D')\perp (MPQ)$ .

Do đó góc giữa $(MAB)$ và $(MC'D')$ bằng góc giữa $MQ$ và $MP$ .

Đặt $AB=a$ , ta có $OI=\dfrac{a}{2}\Rightarrow MI=\dfrac{1}{3}OI=\dfrac{a}{6}$ .

Gọi $K$ là tâm của $ABCD$ , ta có $MK=IK-MI=\dfrac{5a}{6}$ .

Suy ra $MP=\sqrt{MI^2+IP^2}=\dfrac{\sqrt{10}a}{6}, MQ=\sqrt{MK^2+KQ^2}=\dfrac{\sqrt{34}a}{6}, PQ=\sqrt{2}a$ .

Vậy $\cos\alpha=|\cos \widehat{PMQ}|=\dfrac{\left|MP^2+MQ^2-PQ^2\right|}{2MP.MQ}=\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$ .

Câu 42
Cho khối lăng trụ $ABC. A'B'C'$ , khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $BB'$ bằng $2$ , khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $BB'$ và $CC'$ lần lượt bằng $1$ và $\sqrt{3}$ , hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left(A'B'C'\right)$ là trung điểm $M$ của $B'C'$ và $A'M=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $2$ .
B. $1$ .
C. $\sqrt{3}$ .
D. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ .

Lời giải

Chọn phương án A.

Hinh42b

Gọi $E$ , $F$ là hình chiếu của $A$ trên $BB'$ và $CC'$ .

Ta có $\begin{cases} AE\perp AA'\\ AF\perp AA' \end{cases}\Rightarrow AA'\perp (AEF)\Rightarrow BB'\perp EF$ .

Từ đó suy ra $EF=d(F,BB')=d(C,BB')=2\Rightarrow \triangle AEF$ vuông tại $A$ .

Gọi $N$ trung điểm $BC$ và $H=MN\cap EF$ , ta có $AH=\dfrac{1}{2}EF=1$ .

Dễ thấy $\triangle AMN$ vuông tại $A$ và có đường cao $AH$ .

Do đó $\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{AH^2}-\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow AM=2$ .

Lại có $MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow S_{BCC'B'}=MN.EF=\dfrac{8}{\sqrt{3}}$ .

Vậy $V_{ABC.A'B'C'}=3V_{ABCC'}=\dfrac{3}{2}V_{A.BCC'B'}=\dfrac{1}{2}S_{BCC'B'}.\mathrm{d}(A,EF)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{8}{\sqrt{3}}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2$ .

Câu 43
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $[1;17]$ . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$ bằng
A. $\dfrac{1728}{4913}$ .
B. $\dfrac{1079}{4913}$ .
C. $\dfrac{23}{68}$ .
D. $\dfrac{1637}{4913}$ .

Lời giải

Chọn phương án D.

Mỗi bạn có $17$ khả năng viết số nên số phần tử không gian mẫu là $17^3=4913$ .

Ta chia các số tự nhiên từ $1$ đến $17$ thành $3$ nhóm: Nhóm I gồm các số chia hết cho $3$ có $5$ số; nhóm II gồm các số chia cho $3$ dư $1$ gồm $6$ số; nhóm III gồm các số chia cho $3$ dư $2$ có $6$ số.

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có tổng chia hết cho $3$ gồm các trường hợp sau:

• TH1: Ba số đều chia hết cho $3$ có $5^3=125$ cách.

• TH2: Ba số đều chia cho $3$ dư $1$ có $6^3=216$ cách.

• TH3: Ba số đều chia cho $3$ dư $2$ có $6^3=216$ cách.

• TH4: Một số chia hết cho $3$ , một số chia cho $3$ dư $1$ và một số chia cho $3$ dư $2$ có $5.6.6.3!=1080$ cách.

Từ đó suy ra số cách viết thỏa mãn yêu cầu bài toán là $125+216+216+1080=1637$ .

Vậy xác suất cần tìm là $\dfrac{1637}{4913}$ .

Câu 50

Cho hai hàm số $y=f(x)$ , $y=g(x)$ . Hai hàm số $y=f'(x)$ và $y=g'(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số $y=g'(x)$ . Hàm số $h(x)=f(x+4)-g\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Hinh50a
A. $\left(5;\dfrac{31}{5}\right)$ .
B. $\left(\dfrac{9}{4};3\right)$ .
C. $\left(\dfrac{31}{5};+\infty \right)$ .
D. $\left(6;\dfrac{25}{4}\right)$ .

Lời giải

Chọn phương án B.

Ta có $h'(x)=f'(x+4)-2g'\left(2x-\dfrac{3}{2}\right)$ .

Xét $x=6,1$ , ta có $h'(6,1)=f'(10,1)-2g'(10,7)$ ; từ đồ thị ta có $f'(10,1)<f'(10)=8$ và $2g'(10,7)>2g'(11)=8\Rightarrow h'(6,1)<0$ nên loại phương án A và D.