Tổ Hợp Xác Suất – NGUYỄN MINH HIẾU

Xác suất là một trong những nội dung cơ bản của Toán học phổ thông. Bài viết này nhằm giới thiệu các dạng toán và các phương pháp tính xác suất thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc Gia.

A. Kiến Thức Cần Nhớ

1. Phép thử ngẫu nhiên.

• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà :

-Kết quả của nó không dự đoán trước được;

-Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

• Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu $\Omega$ .

2. Biến cố.

• Một biến cố $A$ liên quan tới phép thử $T$ được mô tả bởi một tập con ${\Omega _A}$ của không gian mẫu. Biến cố $A$ xảy ra khi kết quả của $T$ thuộc $\Omega_A$ . Mỗi phần tử của $\Omega_A$ gọi là một kết quả thuận lợi cho $A$ .

• Biến cố hợp : Là biến cố “ $A$ hoặc $B$ xảy ra”, ký hiệu $A\cup B$ . Ta có $\Omega_{A\cup B}=\Omega_A\cup \Omega_B$ .

• Biến cố giao : Là biến cố “Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra”, ký hiệu $A\cap B$ . Ta có $\Omega_{A\cap B}=\Omega_A\cap \Omega_B$ .

• Biến cố đối : Là biến cố “Không xảy ra $A$ “, ký hiệu $\overline{A}$ . Ta có $\left( {{\Omega _{\overline A }} = \Omega \backslash {\Omega _A}} \right)$ .

• Biến cố xung khắc : Là hai biến cố $A$ và $B$ mà nếu $A$ xảy ra thì $B$ không xảy ra và ngược lại.

• Biến cố độc lập : Là hai biến cố $A$ và $B$ mà việc xảy ra hay không xảy ra $A$ không ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra $B$ và ngược lại.

3. Xác suất của một biến cố.

• Giả sử phép thử $T$ có không gian mẫu $\Omega$ là một tập hữu hạn và các kết quả của $T$ là đồng khả năng. Nếu $A$ là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì xác suất của $A$ là một số, ký hiệu là $P(A)$ , được xác định bởi công thức $P(A)=\dfrac{\left|\Omega_A\right|}{|\Omega|}$ .

Sucsac

• Tính chất : $0 \leqslant P\left( A \right) \leqslant 1$ , $P\left( \emptyset \right) = 0$ , $P\left( \Omega \right) = 1$ , $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)$ .

• Quy tắc cộng xác suất : Nếu $A,B$ xung khắc thì $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$ .

• Quy tắc nhân xác suất : Nếu $A,B$ độc lập thì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)\times P\left( B \right)$ .

4. Biến ngẫu nhiên rời rạc.

• Là giá trị độc lập $X = \left\{ {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right\}$ nhận kết quả bằng số, hữu hạn và không dự đoán trước được.

• Xác suất tại ${x_k}$ : $P\left( {X = {x_k}} \right) = {p_k},\left( {k = 1..n} \right)$ . Khi đó ${p_1} + {p_2} + ... + {p_n} = 1$ .

• Bảng phân bố xác suất : $\begin{array}{|c|c c c|c c c|c c c|c c c|} \hline X& &x_1& & &x_2& & &...& & &x_n& \\ \hline P& &p_1& & &p_2& & &...& & &p_n& \\ \hline \end{array}$

• Kỳ vọng : $E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{p_i}}$ .

• Phương sai : $V\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2{p_i} - {E^2}\left( X \right)}$ .

• Độ lệch chuẩn : $\sigma \left( X \right) = \sqrt {V\left( X \right)}$ .
» xem tiếp